Title: Math MP2 / 09) Réduction algébrique

Front: [latex] \#57 \SP Pour $u \in \mathcal L(E)$ avec $\dim E =n$.\\
Prouver que $u$ est nilpotent ssi $\chi_u = X^n$.
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Back: [latex]
\begin{enumerate}%[label = $\bullet$]
\item [$\implique$] Si $u$ est nilpotent, alors il existe $p \in \nn^*$ tel que $X^p$ est annulateur de $u$.\\
$u$ est donc trigonalisable avec $0$ pour unique valeur propre (car $\pi_A=X^q$) et donc :
$$\chi_u = X^n$$
\item [$\Leftarrow$] Si $\chi_u = X^n$ alors par Cayley - Hamilton, $u$ est nilpotent.
\end{enumerate}
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Front: [latex] \#58 \SP Pourquoi les sous-espaces caractéristiques sont-ils supplémentaires ?[/latex]
Back: [latex] Pour un endomorphisme trigonalisable.\\
C'est une conséquence immédiate du lemme de décomposition des noyaux appliqué à :
$$\chi_u(X)= \dis \prod_{k=1}^m(X-\lambda_k)^{m_k}$$
\emph{\small Ce résultat n'est possible que parce que le polynôme $\chi_u(X)$ est scindé.}[/latex]

Front: [latex] \#59 \SP Pourquoi les sous-espaces caractéristiques sont-ils stables par $u$ ?[/latex]
Back: [latex] Les sous-espaces caractéristiques sont de la forme :
$$E_k = \ker (u-\lambda_k \id_E)^{m_k}$$
Comme $u \circ (u-\lambda_k \id_E)^{m_k} = (u-\lambda_k \id_E)^{m_k} \circ u$, alors $E_k$ est stable par $u$.
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Front: [latex] \#60 \SP Soit $\lambda_k$ une valeur propre de $u \in \mathcal L(E)$ où $E$ est un $\cc$-ev.\\
Soit $u_k$, l'endomorphisme induit par $u$ sur $\ker(u - \lambda_k \id)^{m_k}$.\\
Pourquoi son polynôme caractéristique est-il de la forme :
$$\chi_{u_k} = (X- \lambda_k)^{d_k}$$
[/latex]
Back: [latex] Commençons par remarquer que $\lambda_k$ est une valeur propre de $u_k$.\\
D/ Comme $u(x) = \lambda_k x$, on a $(u-\lambda_k \id)^{m_k}(x)=0$.\\
Ainsi $x \in \ker (u-\lambda_k \id)^{m_k}$ puis $u_k(x) = \lambda_k x$\\
Montrons que c'est la seule.\\
Soit $\lambda \in \spectre_{\cc}(u_k)$ et $x \in \ker(u - \lambda_k \id)^{m_k}$ un vecteur propre associé.\\
Nous avons alors  $\systxx{(u_k - \lambda_k\id)^{m_k}(x)=0}{(u_k - \lambda_k\id)^{m_k}(x)=(\lambda-\lambda_k)^{m_k}x}$ et donc $\lambda = \lambda_k$.\\
$u_k$ admet donc $\lambda_k$ pour seule valeur propre et on en déduit le résultat voulu...\\
\emph{\small Le fait que $(X-\lambda_k)^{m_k}$ annule $u_k$ suffit pour montrer que $\lambda_k$ est la seule valeur propre de $u_{k}$.}[/latex]

Front: [latex] \#74 \SP Que dire du polynôme minimal de $A$ lorsque $(I_n,~A,\dots, A^p)$ est libre ?[/latex]
Back: [latex] Dans ce cas, nous avons $\deg(\Pi_A) > p$.\\
\underline{En effet} : Si nous avions $\deg(\Pi_A) \leq p$ alors nous aurions une combinaison linéaire nulle à coefficients non nuls (car $\Pi_A \neq 0$) des vecteurs $I_n,~A,\dots, A^p$ ce qui contredirait la liberté de la famille.[/latex]