Title: Math MP2 / 09) Réduction algébrique / Réduction : Bases
Tags: Exousuels Algèbre Methodologie

Front: [latex] \#01 \SP Soit $(f,g)\in\mathcal{L}(E)^2$ tels que $f\circ g=g\circ f$.\\
Donner des exemples de sev stables par $f$ et $g$.[/latex]
Back: [latex] Sont stables par $f$ et $g$ :
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item Les sous-espaces propres $E_\lambda(f)$ et $E_\lambda(g)$
\item Les sous-espaces caractéristiques $N_\lambda(f)$ et $N_\lambda(g)$
\item Plus généralement : Pour  $P \in \poly \kk$
\begin{enumerate}[label = $\rightarrow$]
\item $\ker P(f)$ et $\ker P(g)$
\item $\im P(f)$ et $\im P(g)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\emph{\small Lorsqu'ils sont supplémentaires, les sev stables permettent de réduire significativement la matrice d'un endomorphisme.\\
Lorsque $f$ est diagonalisable, on peut construire une base dans laquelle la matrice de $f$ est diagonales et la matrice de $g$ est diagonale par blocs.}
[/latex]

Front: [latex] \#02 \SP Soit $f\in\mathcal{L}(E)$.\\
Que dire de $\im P(f)$ et de $\ker P(f)$ lorsque $P\in\poly \kk$ ? [/latex]
Back: [latex] Les sev $\systxx{\im P(f)}{\ker P(f)}$ sont stables par $f$.\\
\emph{\small \underline{En effet} : nous avons $f\circ P(f) = P(f) \circ f$}
%lorsque $u\circ v = v \circ u$ alors $\systxx{\im v}{\ker v}$ sont stables par $u$.}
%D/ Lorsque deux endomorphismes commutent,\\
%un sev stable par l'un est stable par l'autre.\\
%Or nous avons :
%\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
%\item $\im P(f)$ et $\ker P(f)$ sont stables par $P(f)$.
%\item $f \circ P(f) = P(f) \circ f$
%\end{enumerate}
[/latex]

Front: [latex] \#03 \SP Soit $A \in \mn[n]\kk$.\\\\
Quelles informations nous donne $P \in \poly \kk$ lorsque $P(A)=0$ ?[/latex]
Back: [latex]
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item Les valeurs propres de $A$ sont parmi les racines de $P$.
\item Le polynôme minimal est parmi les diviseurs de $P$.
\end{enumerate}
[/latex]

Front: [latex] \#04 \SP Citer le théorème de Cayley-Hamilton.[/latex]
Back: [latex]Le polynôme caractéristique de $\systxx{f}{A}$ est annulateur de $\systxx{f}{A}$.
$$\chi_f(f)=0 \SP \text{ et } \SP \chi_A(A)=0$$
\emph{\small On en déduit que $\Pi_A$ divise $\chi_A$ et donc que les racines de $\Pi_A$
sont des valeurs propres de $A$. Comme de plus, $\Pi_A$ annule $A$, alors les valeurs propres sont parmi les racines de $\Pi_A$. Le racines de $\Pi_A$ sont donc les valeurs propres de $A$.}[/latex]

Front: [latex] \#05 \SP Que nous dit $\chi_A$ sur la $\systxx{$diagonalisabilité$}{$trigonalisabilité$}$ de $A$ ?[/latex]
Back: [latex]
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item Si $\chi_A$ est simplement scindé  : \SP ($A$ admet $n$ valeurs propres distinctes)\\
D'après Cayley-Hamilton, $A$ annule $\chi_A$.\\
$A$ annule donc un polynôme simplement scindé et $A$ est donc diagonalisable.\\
%\emph{Cela ne se produit que lorsque $\chi_A$ admet $n$ racines distinctes...}\\
\item Si $\chi_A$ n'est pas scindé (pour  $A \in \mn[n]\rr$), alors $A$ n'est pas diagonalisable dans $\mn[n]\rr$.\\
\emph{Dans ce cas, $A$ admet des valeurs propres  strictement complexes (non réelles).}\\
\item Si $\chi_A$ est scindé, alors $A$ est trigonalisable mais pas forcément diagonalisable.\\
%\item Dans tous les autres cas, on ne peut RIEN DIRE !!
\end{enumerate}[/latex]

Front: [latex] \#06 \SP Comment savoir si une matrice diagonale\\ par blocs est diagonalisable ?[/latex]
Back: [latex] $$\text{Une matrice diagonale par blocs est diagonalisable}$$
$$\equivaut $$
$$\text{Chacun de ses blocs est diagonalisable}$$
~\\
\emph{\small $\implique$ $\Pi_A$ est scindé simple et annule chacun de blocs diagonaux.\\~\\
$\Leftarrow$ En prenant pour matrice de passage $P = \begin{pmatrix} P_1 & & 0\\
 & \ddots & \\ 0 & & P_q \end{pmatrix}$}[/latex]

Front: [latex] \#07 \SP Rappeler pourquoi toute matrice $A \in \mn[n]\cc$ est trigonalisable.[/latex]
Back: [latex] Comme $\chi_A \in \poly \cc$, il est scindé et donc $A$ est trigonalisable.\\
\emph{Ce théorème a été vu dans le premier chapitre sur la réduction.}
[/latex]

Front: [latex] \#08 \SP Que dire d'une matrice $A \in \mn[n] \kk$ vérifiant :$$A^2+2A-3I_n=0$$[/latex]
Back: [latex] Commençons par remarquer que : \SP $X^2 +2X -3 = (X - 1)(X+3)$
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item $A$ est inversible car : \SP $A. \dfrac{A+2I_n}{3} = I_n$ \SP et donc \SP $A^{-1} = \dfrac{A+2I_n}{3}$
\item $A$ est diagonalisable : \SP  $A$ annule $(X-1)(X+3)$ qui est scindé simple
\item Nous avons en plus : \SP  \SP $\spectre(A) \subset\{1,-3\}$.\\\\
$A$ étant diagonalisable, si $A \neq I_n$ et $A \neq -3I_n$ alors $\spectre(A) = \{1, -3\}$
\end{enumerate}
[/latex]

Front: [latex] \#09 \SP Que dire de la diagonalisabilité de $A \in \mn[n]\kk$ vérifiant $A^p = I_n$ ?[/latex]
Back: [latex]
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item Si $\kk = \cc$ alors $A$ est diagonalisable.\\
\emph{\small D/ $A$ annule le polynôme $\dis X^p - 1 = \prod_{k=0}^{p-1}(X - e^{\frac{2ik\pi}{p}})$ qui est scindé simple.}\\
\item Si $\kk = \rr$, alors on peut simplement dire que $\spectre(A) \subset\{-1,1\}$.\\
\item Si $p=2$, $A$ est diagonalisable car c'est la matrice d'une symétrie.
\end{enumerate}
[/latex]

Front: [latex] \#10 \SP Que dire d'une matrice $A \in \mn[n]\rr$ telle que $A(A-2I_n)^2=0$ ?[/latex]
Back: [latex] $A$ annule le polynôme $P=X(X-2)^2$ qui est scindé.\\
$A$ est donc trigonalisable et $\spectre(A) \subset\{0,2\}$.\\
$P$ n'est pas <<scindé simple>>, on ne peut donc rien dire sur sa diagonalisabilité.[/latex]

Front: [latex] \#11 \SP La matrice suivante est-elle diagonalisable ?
$$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & x_1 & x_2 \\ 0 & 2 & x_3 & x_4 \\ 0 & 0 & x_5 & x_6\\ 0 & 0 & x_7 & x_8 \end{pmatrix}  \in \mn[4]\rr$$[/latex]
Back: [latex] Il s'agit d'une matrice triangulaire par blocs.\\\\
Le bloc $A_1=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ étant non diagonalisable, $A$ n'est pas diagonalisable.\\
\underline{Preuve} : Le polynôme minimal de $A$ annule la matrice $A_1$ : donc si $A$ était diagonalisable, $A_1$ le serait aussi.
% Avec les endomorphismes $u$ et $u_{|F}$ canoniquement associés à $A$ et $A_1$.\\
%En remarquant que si $u$ était diagonalisable, alors $u$ annulerait un polynôme scindé simple et donc $u_{|F}$ aussi.\\
%On peut également prouver ce résultat avec le polynôme minimal de $A$. [/latex]

Front: [latex] \#12 \SP Que dire de la diagonalisabilité d'une matrice nilpotente ? [/latex]
Back: [latex] Soit $A \in \mn[n]\kk$ nilpotente.\\
Comme $A^p=0_n$ alors $X^p$ est annulateur et $\Pi_A = X^q$ avec $q \in \nn^*$.\\
 $A$ admet donc $0$ pour seule valeur propre.\\
Si $A$ était diagonalisable, alors $A =P^{-1} 0 P = 0$.\\
\underline{Finalement} : $$\text{\bf Une matrice nilpotente non nulle n'est pas diagonalisable}$$[/latex]

Front: [latex] \#29 \SP Quels sont les sev stables par un endomorphisme diagonalisable ?[/latex]
Back: [latex] Il s'agit des sev engendrés par des vecteurs propres.\\
\emph{\small Il faut être capable de démontrer ce résultat.}
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item [$\supset$] \emph{\small C'est immédiat !}
\item [$\subset$] \emph{\small Par analyse : Soit $F$ un sev stable par $u$, alors $u_{F}$ est diagonalisable donc...}
\end{enumerate}
[/latex]

Front: [latex] \#14 \SP Structure de l'ensemble des polynômes annulateurs d'une matrice $A$ ?[/latex]
Back: [latex] Il s'agit d'un idéal $I$ de $\poly \kk$.\\
D/ Facile.\\
Comme les idéaux de $\poly \kk$ sont de la forme $P.\poly \kk$ et que $I \neq \{0\}$ (car $\chi_A \in I$ par exemple), $I$ est engendré par un unique polynôme unitaire $\Pi_A$ de degré au moins $1$ appelé le \emph{polynôme minimal} de la matrice.[/latex]

Front: [latex] \#15 \SP Que dire des polynômes annulateurs d'une matrice $A$ ?[/latex]
Back: [latex]
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item Leur ensemble est un idéal de $\poly \kk$
\item Ce sont les multiples du polynôme minimal.
\item Les valeurs propres de $A$ sont parmi leurs racines.
\item Ils peuvent servir à de multiples choses :
\begin{enumerate}[label = $\rightarrow$]
\item déterminer les valeurs propres potentielles de $A$
\item savoir si $A$ est diagonalisable/trigonalisable
\item calculer les puissances de $A$,
\item rechercher l'inverse de $A$,
\item calculer  l'exponentielle de $A$...
\end{enumerate}
\end{enumerate}
[/latex]

Front: [latex] \#16 \SP A quoi peut servir un polynôme annulateur $P_A$ d'une matrice $A$ ?[/latex]
Back: [latex]
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item A vérifier si la matrice est diagonalisable ou trigonalisable.\\
\emph{\small On regarde si ce polynôme est simplement scindé ou juste scindé.}
\item A avoir une idée des valeurs propres possibles d'une matrice\\
\emph{ \small Les valeurs propres sont parmi les racines de ce polynôme.}
\item A déterminer les puissances d'une matrice\\
\emph{\small La division euclidienne $X^n = Q_n.P_A + R_n$ donne $A^n = R_n(A)$}
\item A calculer l'exponentielle d'une matrice non diagonalisable\\
\emph{\small Seulement si $P_A$ a une forme  très simple}
\end{enumerate}[/latex]

Front: [latex] \#17 \SP Degré du polynôme minimal d'une matrice de $\mn[n]\kk$ ?[/latex]
Back: [latex] Pour $ A \neq \lambda I_n$, le polynôme minimal...
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item ...est au moins de degré $2$.
\item ...est de degré inférieur ou égal à $n$ car il divise $\chi_A$.
\end{enumerate}[/latex]

Front: [latex] \#18 \SP Degré du polynôme minimal d'une matrice\\
 ayant $p$ valeurs propres distinctes ?[/latex]
Back: [latex] Pour une matrice $A \in \mn[n]\kk$ ayant $p$ valeurs propres distinctes :
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item Les valeurs propres de la matrice sont des racines du polynôme minimal.\\
Par conséquent $\deg \Pi_A \geq p$.
\item Le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique donc $\deg \Pi_A \leq n$
\end{enumerate}[/latex]

Front: [latex] \#19 \SP Que dire des racines du polynôme minimal d'une matrice $A$ ?[/latex]
Back: [latex]
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item Le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique.\\
Par conséquent, ses racines sont des valeurs propres de $A$.\\
\emph{\small On peut également justifier cela sans faire appel à Cayley-Hamilton.}
\item Les valeurs propres de $A$ sont des racines de tout polynôme annulateur et donc du polynôme minimal.
\end{enumerate}
\underline{Par conséquent} :
$$\text{Les racines du polynôme minimal sont les valeurs propres de $A$}$$[/latex]

Front: [latex] \#20 \SP Que dire du polynôme minimal d'une matrice 2x2 ?[/latex]
Back: [latex] Si cette matrice $A$ est différente de $\lambda I_2$, alors on a :
$$\Pi_A = \chi_A$$
\emph{\small \underline{En effet} :}
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item \emph{ \small  $\Pi_A$ divise $\chi_A$ \SP et donc \SP $\deg \Pi_A \leq \deg \chi_A = 2$}
\item \emph{ \small  $A \neq \lambda I_2$ \SP et donc \SP $2 \leq \deg \Pi_A$}
\item \emph{ \small  Ainsi $\systxxx{\deg \Pi_A = \deg \chi_A}{\Pi_A $ divise $ \chi_A}{\Pi_A$ et $\chi_A$ sont unitaires$}$ et donc \SP $\Pi_A = \chi_A$}
\end{enumerate}[/latex]

Front: [latex] \#21 \SP Donner le polynôme minimal de $A$ diagonalisable de valeurs propres : $$Sp(A) = \{\lambda_1,~\dots,~\lambda_p \}$$[/latex]
Back: [latex] \underline{Il s'agit de} : \SP $\Pi_A = (X - \lambda_1) \dots (X - \lambda_p)$.\\
\emph{\small En effet, dans ce cas, le polynôme minimal est simplement scindé et ses racines\\
sont les valeurs propres de $A$}[/latex]

Front: [latex] \#22 \SP Quelle est la forme du polynôme minimal de $A$  ?[/latex]
Back: [latex] Lorsque $\spectre_{\cc}(A)= \{\lambda_1,~\dots,~\lambda_p\}$ alors :
$$\Pi_A = (X - \lambda_1)^{\alpha_1}\dots (X - \lambda_p)^{\alpha_p}$$
où les $\alpha_k$ vérifient $1 \leq \alpha_k \leq m_k$ avec $m_k$ l'ordre de multilicité de $\lambda_k$.\\
\underline{Preuve} :
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item Les $\lambda_k$ sont racines de $\Pi_A$ et donc $1 \leq \alpha_k$
\item $\Pi_A$ divise $\chi_A$ et donc $\alpha_k \leq m_k$
\end{enumerate}
[/latex]

Front: [latex] \#23 \SP Quel rapport entre $\kk$[A] et $\Pi_A$ ?[/latex]
Back: [latex]
$\kk$[A] est le sev de $\mn[n]\kk$ constitué des polynômes en $A$.\\
$\Pi_A$ permet de déterminer une base et la dimension de $\kk$[A].\\
En notant $\deg \Pi_A = m$, par division euclidienne :
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item On montre que $\kk$$[A] = {\kk}_{m-1}[A]$
\item $(I_n,~A,\dots,~A^{m-1})$ est alors une base de $\kk$[A]
\end{enumerate}[/latex]

Front: [latex] \#25 \SP Soit $u\in \mathcal L(E)$ diagonalisable et $F$ stable par $u$.\\
Que dire de $u_{F}$ ? [/latex]
Back: [latex] $u_{F}$ est également diagonalisable.\\
\underline{Preuve} : $\Pi_u$ est simplement scindé et annule $u_F$.\\
\emph{\small Ce résultat est utilisé pour montrer que deux endomorphismes diagonalisables\\ qui commutent sont diagonalisables dans une même base.} [/latex]

Front: [latex] \#26 \SP Soit $u\in \mathcal L(E)$ trigonalisable et $F$ stable par $u$.\\
Que dire de l'endomorphisme induit $u_{F}$ ? [/latex]
Back: [latex] $u_{F}$ est également trigonalisable.\\
\underline{Preuve} : $\Pi_u$ est scindé et annule $u_F$.\\
%$\Pi_{u_{|F}}$ divise $\Pi_u$ $\left(\text{car }\Pi_u(u_{|F}) = 0\right)$ qui est scindé.}\\
\emph{\small Ce résultat est utiliser pour trigonaliser une matrice trigonalisable en matrice triangulaire par blocs (à l'aide de la décomposition des noyaux) et obtenir ainsi une décomposition de Jordan.} [/latex]

Front: [latex] \#27 \SP Soit $u \in \mathcal L(E)$ et $P \in \poly \kk$.\\
Justifier que si $\lambda \in \spectre(u)$ alors $P(\lambda) \in \spectre(P(u))$.[/latex]
Back: [latex] \underline{Preuve} : Soit $\lambda \in \spectre(u)$ et $x_0 \neq 0_E$ un vecteur propre associé.\\
En calculant $P(u)(x_0)$, on obtient facilement : $$P(u)(x_0) = P(\lambda)x_0 \SP \text{avec }\SP x_0 \neq 0$$
\emph{\small Cela prouve également que $E_{\lambda}(u) \subset E_{P(\lambda)}(P(u))$}.
[/latex]

Front: [latex] \#28 \SP Justifier que les valeurs propres d'une matrice sont parmi les racines de tout polynôme annulateur. [/latex]
Back: [latex] \underline{Preuve} : Soit $P \in \poly \kk$ annulateur de $A\in \mn[n]\kk$ et $\lambda \in Sp(A)$.\\
Notons $X_0 \neq 0$ un vecteur propre de $A$  associé à $\lambda$.\\
On a :
$$\systxx{P(A)X_0=0 $ \SP car \SP $P(A)=0}{P(A)X_0 = \dots =P(\lambda) X_0} \text{ donc $P(\lambda)X_0 = 0$ puis $P(\lambda)=0$ car } X_0 \neq 0$$[/latex]

Front: [latex] \#61 \SP Justifier que le polynôme minimal de $u$ diagonalisable est : $$\Pi_u = \prod_{\lambda \in \spectre(u)}(X - \lambda)$$[/latex]
Back: [latex] Nous savons que les racines de $\dis \Pi_u$ sont les valeurs propres de $u$.\\
$\Pi_u$ est donc des la forme :
$$\Pi_u = \prod_{\lambda \in \spectre(u)}(X - \lambda)^{k_{\lambda}} \SP \text{ avec } \SP k_{\lambda} \geq 1$$
D'autre part, on vérifie en se plaçant dans une base de diagonalisation que :
$$\prod_{\lambda \in \spectre(u)}(u - \lambda\id_E)=0$$
Donc : \SP $\dis \Pi_u = \prod_{\lambda \in \spectre(u)}(X - \lambda)$.\\
\emph{\small On obtenait également ce résultat, en disant que $\Pi_u$ est simplement scindé (car $u$ est diagonalisable).}
[/latex]

Front: [latex] \#62 \SP Justifier que :
$$u \in \mathcal L(E)\text{ est diagonalisable \SP SSI \SP $u$ annule un polynôme scindé simple}$$[/latex]
Back: [latex]
\begin{enumerate}%[label = $\bullet$]
\item [$\implique$] Notons $\spectre(u) = \{\lambda_1,~\dots,~\lambda_p\}$.\\ En se plaçant dans une base de diagonalisation, on obtient $$(u-\lambda_1\id_E)\circ \dots \circ (u - \lambda_p\id_E) = 0$$
\item [$\Leftarrow$] Facile avec le lemme de décomposition des noyaux appliqué au polynôme simplement scindé.
\end{enumerate}[/latex]

Front: [latex] \#30 \SP Justifier que deux endomorphismes diagonalisables qui commutent\\ admettent une base commune de vecteurs propres. [/latex]
Back: [latex] Soient $u,~ v \in \mathcal L(E)$ diagonalisables tels que $u\circ v = v \circ u$.\\
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item Chaque sev propre $E_{\lambda}(u)$ est stable par $v$ car $(u-\lambda \id_E)\circ v = v\circ (u-\lambda \id_E)$
\item Et les restrictions de $v$ à ces sev sont également diagonalisables.
\item On réunit alors des bases de diagonalisation de ces restrictions et on obtient ainsi une base commune de diagonalisation.
\end{enumerate}
 [/latex]

Front: [latex] \#31 \SP Soit $P \in \poly \kk$.\\
Que vaut $P(D)$ lorsque $D = \diag(\lambda_1,~\dots,~\lambda_n)$ ?[/latex]
Back: [latex] $$P(D) = \diag(P(\lambda_1),~\dots,~P(\lambda_n))$$[/latex]

Front: [latex] \#32 \SP Soit $Q\in \poly \kk$.\\
Montrer que si $u \in \mathcal L(E)$ est diagonalisable, alors $Q(u)$ l'est aussi.[/latex]
Back: [latex] Matriciellement en notant $U = \mat_e u$ :\\
On a $U = P^{-1}DP$ et donc $Q(U) = P^{-1}Q(D)P$ avec $Q(D)$ diagonale.[/latex]

Front: [latex] \#35 \SP Soit $u \in \mathcal L(E)$ vérifiant $u^2 = u^3$.\\
Montrer que $u$ est diagonalisable \SP SSI \SP $u$ est un projecteur.[/latex]
Back: [latex] La réciproque est immédiate. On étudie le sens direct :
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item Le polynôme $P=X^2(1-X)$ est annulateur de $u$.
\item Comme $u$ est diagonalisable, alors son polynôme minimal\\ est scindé et divise $P$.
Il s'agit donc de $X$, $1-X$ ou $X(1-X)$.
\item Dans ces 3 cas $\systxxx{u=0}{u=\id_E}{u^2=u}$, nous obtenons un projecteur.
\end{enumerate}[/latex]

Front: [latex] \#36 \SP Comment prouver que $A\in \mn[n]\cc$ tq $A^3 = A + I_n$ est diagonalisable ?[/latex]
Back: [latex] Il suffit de montrer que $P=X^3 -X -1$ est scindé simple dans $\cc$.\\
Comme $P$ est scindé, on montre qu'il n'admet pas de racine multiple.\\
Pour cela, il suffit de montrer que $\systxx{P(x)=0}{P'(x)=0}$ n'a pas de solution.\\
A finir...[/latex]

Front: [latex] \#39 \SP Pour $a \neq 0$.\\
Déterminer un polynôme annulateur de $A = \begin{pmatrix} b & a & \dots & a\\ a & b & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & a \\ a & \dots & a & b \end{pmatrix} \in\mn[n]\rr$ %où $a \neq 0$.[/latex]
Back: [latex] \underline{Méthode 1} : Par décomposition \SP (pas la meilleure !)
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item On décompose : $A = aJ + (b-a)I_n$ avec $J = \begin{pmatrix} 1 & \dots & 1 \\ \vdots & 1 & \vdots \\ 1 & \dots & 1 \end{pmatrix}$
\item $\systxx{I_n$ et $J$ commutent$}{J^2=nJ}$ donc $A^2 = (a^2 + 2(b-a)a)J + (b-a)^2I_n$\\
\item On remplace alors $J$ par $J = \frac 1a(A - (b-a)I_n)$ et on obtient un polynôme annulateur.\\
\end{enumerate}
 \underline{Méthode 2} : En remarquant que $A$ est diagonalisable  \SP (la meilleure !)\\
On recherche le polynôme minimal et donc les valeurs propres de $A$ (on trouve $b + (n-1)a$ et $b-a$). Comme $A$ est diagonalisable alors $\Pi_A$ est simplement scindé, et :
$$\Pi_A = (X - b+ a)(X - b - (n-1)a)$$
[/latex]

Front: [latex] \#40 \SP Soit $u,~v \in \mathcal L(E)$ tels que $u\circ v = v \circ u$.\\
Soit $P \in \poly \rr$.\\
Que peut-on dire de $\systxx{\ker P(u)}{\im P(u)}$ ?[/latex]
Back: [latex] Montrons que $\systxx{\ker P(u)}{\im P(u)}$ sont stables par $v$.\\
Il suffit de remarquer que $v \circ P(u) = P(u) \circ v$ en écrivant $P=a_0 + a_1 X +\dots+ a_p X^p$.\\
On applique alors un théorème de cours connu.
%\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
%\item Soit $x \in \ker P(u)$ \SP (on a %alors $P(u)(x)=0$).\\
%Montrons que $P(u)(v(x))=0$. \\
%Comme $u\circ v = v \circ u$ :
%$$P(u)(v(x))= P(u)\circ v (x) = v \circ %P(u)(x) = v(P(u)(x)) = v(0)=0$$
%\item Soit $y \in \im P(u)$ \SP (on a %alors $y=P(u)(x)$).\\
%Calculons en utilisant $u\circ v = v \circ %u$ :
%$$v(y)= v(P(u)(x))= v\circ P(u) (x) = %P(u)\circ v (x)= P(u) (v(x)) \in \im P(u) %$$
%\end{enumerate}
[/latex]

Front: [latex] \#41 \SP Que dire des valeurs propres de $A \in \mn[n]\cc$ vérifiant $A^4 = I_n$ ?[/latex]
Back: [latex] Les racines de $X^4 - 1$ sont : $1$, $i$, $-1$ et $-i$.\\
Par conséquent :
$$\spectre(A) \subset \{1,~i,~-1,~-i\}$$[/latex]

Front: [latex] \#42 \SP Pourquoi le polynôme minimal de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ n'est pas $P=X^3 - X + 1$ ?[/latex]
Back: [latex] Car le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique qui est de degré $2$.\\
\emph{\small Plus généralement, nous savons que le polynôme minimal d'une matrice $A$ de taille 2x2 différente de $\alpha I_2$ est $\chi_A$.}[/latex]

Front: [latex] \#43 \SP Que dire des valeurs propres de $A$ vérifiant $(A-I_n)(A-2I_n)(A-3I_n)=0$ ?[/latex]
Back: [latex] $(X-1)(X-2)(X-3)$ est un polynôme annulateur.\\
Par conséquent : $$\spectre(A) \subset \{1,~2,~3\}$$
\emph{\small Ce polynôme étant scindé simple, nous pouvons affirmer que $A$ est diagonalisable.}[/latex]

Front: [latex] \#44 \SP Que dire de $A \in \mn[n]\cc$ vérifiant $A^4 = I_4$ ?[/latex]
Back: [latex] Le polynôme $X^4 - 1$ est scindé simple dans $\poly \cc$.\\
$A$ est donc diagonalisable.[/latex]

Front: [latex] \#45 \SP Soit $F$ stable par $u$.\\
Que dire des polynômes minimaux de $u$ et $u_{|F}$ ?[/latex]
Back: [latex] Le polynôme minimal de $u$ est un polynôme annulateur de $u_{|F}$.\\
Par conséquent le polynôme minimal de $u_{|F}$ divise celui de $u$.\\
\emph{\small C'est comme ça qu'on en déduit qu'un endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable (resp. trigonalisable) est lui-même diagonalisable (resp. trigonalisable).}[/latex]

Front: [latex] \#47 \SP La matrice $A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ est-elle trigonalisable dans $\rr$ ?[/latex]
Back: [latex] Oui car son polynôme caractéristique est scindé :
$$\chi_A(\lambda) = ((\lambda-1)^2 - 1))\lambda = \lambda^2(\lambda - 2)$$
\emph{\small Cette matrice est même diagonalisable car symétrique réelle.}[/latex]

Front: [latex] \#49 \SP Quel est le polynôme caractéristique d'une matrice nilpotente ?[/latex]
Back: [latex] Soit $A\in \mn[n]\kk$ nilpotente. Alors il existe $p \in \nn^*$ tel que $A^p=0$.\\
Le polynôme $X^p$ étant annulateur de $A$, $0$ est la seule valeur propre possible de $A$. Or, nous avons $\Pi_A = X^q$ (avec $q \leq p$) et donc $0$ est valeur propre de $A$.\\
$0$ est donc la seule racine de $\chi_A$ qui est unitaire et de degré $n$.\\
On a donc :
$$\chi_A(X)=X^n$$
~\\
\emph{Nous avons vu en cours d'autres méthodes permettant de prouver que $\spectre(A)=\{0\}$}[/latex]

Front: [latex] \#50 \SP Comment savoir si une matrice $A$ triangulaire\\ par blocs n'est pas diagonalisable ?[/latex]
Back: [latex] Il suffit de regarder si l'un des blocs diagonaux n'est pas diagonalisable.\\
\emph{\small D/ On montre que si $A$ est diagonalisable, alors chaque bloc diagonal l'est aussi. \\
En effet, les blocs diagonaux annulent le polynôme minimal de $A$ qui est scindé simple.}[/latex]

Front: [latex] \#51 \SP Soit $u \in \gl E$ où $E$ est de dimension finie.\\
Montrer qu'il existe un polynôme $Q \in \poly \kk$ vérifiant $u^{-1} = Q(u)$.
[/latex]
Back: [latex] Comme $0 \not \in \spectre(u)$, le terme constant de $\chi_u$ est non nul.\\
Comme $\chi_u(u)=0$, on obtient alors une relation de la forme :
$$u\circ Q(u) = \id_E$$
On peut alors conclure.[/latex]

Front: [latex] \#52 \SP Que peut-on dire d'une matrice $A$ dont le polynôme caractéristique vaut :
$$\chi_A(\lambda) = (\lambda - 1)^3$$[/latex]
Back: [latex] Il s'agit d'une matrice $A \in \mn[3]\kk$...
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item dont le spectre vaut $\spectre(A) = \{1\}$
\item qui n'est diagonalisable que si $A = I_3$
\item qui est trigonalisable car $\chi_A$ est scindé
\item qui est inversible car $0 \not \in \spectre(A)$
\item dont on peut trouver l'inverse en utilisant le théorème de Cayley-Hamilton.
$$(A - I_3)^3 = 0 \SP \text{ et donc } \SP (A^2 - 3A + 3I_3)A = I_3$$
\end{enumerate}[/latex]

Front: [latex] \#53 \SP Pourquoi une matrice nilpotente $N$ de $\mn[n] \rr$ vérifie-t-elle $N^n=0$ ? [/latex]
Back: [latex] Comme une telle matrice n'admet que $0$ pour valeur propre, son polynôme caractéristique est donc :
$$\chi_N(X) = X^n$$
D'après Cayley-Hamilton, on en déduit que $N^n = 0$.\\
\emph{\small On obtient également ce résultat en remarquant que $N$ est semblable à une matrice triangulaire stricte et dont la puissance nième est donc nulle.}[/latex]

Front: [latex] \#54 \SP Que dire de $A \in \mn[3]\rr$ qui annule un polynôme de racines $\systxxx{0}{1-i\sqrt 2}{1+i\sqrt 2}$ ? [/latex]
Back: [latex]
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item Nous savons que les valeurs propres d'une matrice sont parmi les racines d'un polynôme annulateur.\\
Par conséquent : \SP $\spectre_{\cc}(A) \subset \{0,~1-i\sqrt 2,~1+i\sqrt 2\}$.
\item Nous savons également que :
\begin{enumerate}[label = $\rightarrow$]
\item $A$ admet $3$ valeurs propres complexes (comptées avec leur ordre de multiplicité)
\item Si $1-i\sqrt 2$ est valeur propre alors $1+i\sqrt 2$ l'est aussi avec le même ordre de multiplicité. $A$ étant de taille $3$, cet ordre ne peut donc qu'être au plus $1$.
\item Qu'une matrice de $\mn[3]\rr$ admet une valeur propre réelle.\\
D / $\deg(\chi_A)=3$ puis TVI généralisé
\end{enumerate}
\item Par conséquent :
\begin{enumerate}[label = $\rightarrow$]
\item $0$ est une valeur propre de $A$
\item Soit $0$ est valeur propre triple et $A$ est alors nilpotente
\item Soit $\spectre(A) = \{0,~1-i\sqrt 2,~1+i\sqrt 2\}$ et $A$ est diagonalisable dans $\cc$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}[/latex]

Front: [latex] \#55 \SP Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable d'un ev $E$ de dimension $n$.\\
On suppose que la famille $(\id_E,~u,~\dots,~u^{n-1})$ est libre.\\
Montrer que les valeurs propres de $u$ sont distinctes.[/latex]
Back: [latex]
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item Comme $(\id_E,~u,~\dots,~u^{n-1})$ est libre, alors le polynôme minimal est de degré au moins $n$.
\item Comme le degré du polynôme caractéristique est $n$ alors $\deg \Pi_u=n$ et donc $\Pi_u = \chi_u$.
\item $u$ étant diagonalisable, $\Pi_u$ (et donc $\chi_u$) est scindé simple et donc $u$ admet $n$ valeurs propres distinctes
\end{enumerate}
[/latex]

Front: [latex] \#56 \SP Donner une condition suffisante pour qu'une matrice triangulaire par blocs ne soit pas diagonalisable.[/latex]
Back: [latex] Soit $A$ une matrice triangulaire par blocs : \SP
$A = \begin{pmatrix}A_1 & X & X & X\\ (0) & A_2 & X& X \\ & (0) & \ddots & X\\ (0) &&(0)&A_p \end{pmatrix}$.\\
Si $A$ est diagonalisable, alors $\Pi_A$ est scindé simple.\\
Or $\Pi_A(A)=0$ et donc $\forall k \in \interventier{1}{p},~\Pi_A(A_k) = 0$.\\
Par conséquent, les $A_k$ annulent un polynôme scindé simple et sont donc diagonalisables.\\
\underline{D'où la condition suffisante} : "$A$ n'est pas diagonalisable dès lors qu'un des blocs diagonaux ne l'est pas".[/latex]

Front: [latex] \#57 \SP Soit $F = \ker (u - \lambda \id_E)^m$ avec $u \in \mathcal L(E)$ et $\lambda \in \spectre(u)$.\\
Prouver que $\spectre(u_{|F}) = \{\lambda\}$. [/latex]
Back: [latex] On vérifie facilement que $(u_{|F} - \lambda \id_F)^m = \tilde 0_F$.\\
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item Le polynôme $P=(X-\lambda)^m$ est donc annulateur de $u_{|F}$.\\
$P$ étant scindé, $u_{|F}$ est trigonalisable et admet donc une valeur propre.
\item Or, les valeurs propres de $u_{|F}$ sont parmi les racines de $P$.\\
Par conséquent :
$$\spectre(u_{|F}) = \{\lambda\}$$
\end{enumerate}
\emph{\small On pouvait aussi remarquer que $ u = \lambda \id_F + n$ avec $n$ nilpotent.\\
On obtient alors le résultat voulu en se plaçant dans une base où la matrice de $n$ est triangulaire strictement supérieure.}[/latex]

Front: [latex] \#63 \SP Quel est l'intérêt de prouver que $A = P(B)$ avec $P \in \poly \rr$ ?
[/latex]
Back: [latex]
Ce résultat permet (entre autre) de justifier que $A$ et $B$ commutent.
$$AB = P(B)B = BP(B) = BA$$
\emph{\small Il sera en particulier utilisé en fin d'année pour prouver qu'une matrice définie positive n'admet qu'une seule racine carrée.}
[/latex]

Front: [latex] \#64 \SP Soit $P\in \poly \kk$, $u \in \mathcal L(E)$ et $x \in E$.\\
Pourquoi la notation $P(u(x))$ n'a-t-elle pas de sens ?[/latex]
Back: [latex] Pour calculer $P(u(x))$ il faudrait pouvoir calculer $(u(x))^k$ ce qui n'a pas de sens puisque $u(x)$ est un vecteur de $E$.\\
\emph{\small Seules les combinaisons linéaires sont autorisées sur les vecteurs.}\\
Les notations correctes sont $P(u)(x)$ ou $[P(u)](x)$.[/latex]

Front: [latex] \#66 \SP Pourquoi peut-on affirmer qu'une matrice $A \in \mn[n]\kk$ admet un polynôme annulateur non nul ?[/latex]
Back: [latex] Parce que $\dim(\mn[n]\kk) = n^2$ et donc que la famille $(I_n,~A,~\dots,~A^{n^2})$ est liée.[/latex]

Front: [latex] \#65 \SP A quoi peut servir un polynôme annulateur de $A \in \mn[n]\kk$ ?[/latex]
Back: [latex] La connaissance de $P \in \poly \kk$ tel que $P(A)=0$ permet :
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item De montrer que $A$ est inversible et de calculer son inverse
\item De déterminer les valeurs propres potentielles de $A$
\item De calculer $A^k$ (Par division euclidienne de $X^k$ par $P$)
\item De savoir si $A$ est diagonalisable ou trigonalisable
\item De limiter la recherche du polynôme minimal aux diviseurs de $P$
\end{enumerate}[/latex]

Front: [latex] \#67 \SP Pourquoi les racines de $\Pi_u$ sont-elles des valeurs propres de $u$ ?[/latex]
Back: [latex] Parce que sinon, on pourrait trouver un polynôme annulateur non nul de $u$ de degré strictement inférieur à celui de $\Pi_u$.\\
D/ Supposons que $\Pi_u(\alpha) = 0$ avec $\alpha \not \in \spectre(u)$.\\
On a alors $(u - \alpha \id_E) \circ Q(u) = \tilde 0$ avec $u-\alpha \id_E \in \gl E$ et donc : $$Q(u)=\tilde 0 \SP \text{ avec } \SP \deg(Q) < \deg(\Pi_u)$$[/latex]

Front: [latex] \#68 \SP Pourquoi $\Pi_u$ divise-t-il tous les polynômes annulateurs ?[/latex]
Back: [latex] Parce que l'ensemble des polynômes annulateurs de $u \in \mathcal L(E)$ est :
$$\Pi_u\poly \kk$$
D/ En effet, cet ensemble est un idéal de l'anneau $\poly \kk$ et que $\poly \kk$ ne possède que des idéaux principaux. $\Pi_u$ est alors défini comme le seul générateur unitaire.[/latex]

Front: [latex] \#69 \SP Rappeler le lemme de décomposition des noyaux.[/latex]
Back: [latex] Lorsque $P = P_1 \times \dots P_r$ avec les polynômes $P_k$ premiers entre eux deux à deux, nous avons :
$$\ker(P(u)) = \bigoplus_{k=1}^r \ker(P_k(u))$$
Ce théorème est particulièrement intéressant lorsque $P$ est annulateur de $u$.\\
En effet, dans ce cas, $\ker(P(u)=E$ et on obtient en appliquant ce lemme, une décomposition de $E$ en supplémentaires stables par $u$. La matrice de $u$ dans une base adaptée à cette décomposition est alors diagonale par blocs.[/latex]

Front: [latex] \#70 \SP Que donne le lemme de décomposition des noyaux lorsque : $$(u - \id_E)(u^2 + u + \id_E)=\tilde 0$$[/latex]
Back: [latex] Les polynômes $X - 1$ et $X^2 + X + 1$ étant premiers entre eux, le lemme de décomposition des noyaux donne :
$$\ker(u - \id_E)\bigoplus \ker(u^2 + u + \id_E) = E$$[/latex]

Front: [latex] \#71 \SP Que dire de la matrice $A \in \mn[n]\kk$ lorsque :
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item $(A- 2I_n)(A+3I_n)^2 = 0_n$ ?
\item $(A-5I_n)(A+I_n)(A -2 I_n)=0_n$ ?
\end{enumerate}[/latex]
Back: [latex]
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item Lorsque $(A- 2I_n)(A+3I_n)^2 = 0_n$, $A$ admet un polynôme annulateur scindé et donc $A$ est trigonalisable
\item Lorsque $(A-5I_n)(A+I_n)(A - 2I_n)=0_n$ $A$ admet un polynôme annulateur simplement scindé et donc $A$ est diagonalisable
\end{enumerate}
[/latex]

Front: [latex] \#73 \SP Soit $u\in \mathcal L(E)$ trigonalisable.\\
Définition et dimension des sous-espaces caractéristiques de $u$ ?[/latex]
Back: [latex] Notons $\dis \chi_u(X) = \prod_{k=1}^r(X - \lambda_k)^{m_k}$.\\
Les sev caractéristiques de $u$ sont alors les :
$$N_k = \ker(u-\lambda_k \id_E)^{m_k} \SP \text{ avec } \SP \dim(N_k) = m_k$$
\emph{\small On peut également obtenir les sev caractéristiques à partir du polynôme minimal.\\
Ils présentent l'avantage d'être stables par $u$ et supplémentaires dans $E$.}[/latex]

Front: [latex] \#72 \SP Qu'appelle-t-on les projecteurs spectraux de $u \in \mathcal L(E)$ trigonalisable ?[/latex]
Back: [latex] On obtient les projecteurs spectraux de $u$ à partir de la décomposition de $E$ en somme directe de sev caractéristiques :
$$E = \bigoplus_{k=1}^r N_k$$
Le projecteur spectral $p_k$ est lors le projecteur $\systxx{$sur $ N_k}{$//$^t$ à $N_1  \oplus \dots \oplus N_{k-1} \oplus N_{k+1} \oplus \dots \oplus N_r}$.\\
\emph{\small On démontre avec Bezout que ces projecteurs sont des polynômes en $u$.}[/latex]