Title: Math MP2 / 09) Réduction algébrique / Réduction : Compléments
Tags: Exousuels

Front: [latex] \#24 \SP Polynôme minimal et décomposition de Dunford ?[/latex]
Back: [latex] Pour une matrice $A \in \mn[n]\cc$, on note $\dis \Pi_A= \prod_{k=1}^p (X - \lambda_k)^{\alpha_k}$.
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item En appliquant la décomposition des noyaux, on obtient :
$$\cc^n = \bigoplus_{k = 1}^p \ker (A - \lambda_k I_n)^{\alpha_k}$$
\item On considère l'endomorphisme $u$ canoniquement associé à $A$
\begin{enumerate}[label = $\rightarrow$]
\item $u$ est défini par ses endomorphismes induits  $u_k$ aux $$N_k=\ker(u-\lambda_k \id_E)^{\alpha_k}$$
\item les $u_k$ sont alors de la forme $u_k = \lambda_k \id_{E_k} + n_k$ avec $n_k$ nilpotent.
\item on obtient alors la décomposit° $A = D + N$ avec $\systxx{D$ diagonalisable$}{N$ nilpotente$}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
[/latex]

Front: [latex] \#33 \SP La matrice $A$ vérifiant $\systxx{A(A-I_n)^2=0}{A(A-I_n)\neq 0}$ est-elle diagonalisable ?[/latex]
Back: [latex] Comme $A(A-I_n)^2=0$, alors $\spectre(A)\subset\{0,~1\}$.\\
Si $A$ était diagonalisable, alors son polynôme minimal serait $$X \text{\SP  ou \SP } X-1 \text{\SP  ou \SP }X(X-1)$$
Or ce n'est pas le cas, donc $A$ n'est pas diagonalisable.[/latex]

Front: [latex] \#34 \SP Soit $A \in \mathcal S_n(\rr)$ telle que $A^k = I_n$ avec $k \geq 2$.\\
Montrer que $A^2=I_n$.[/latex]
Back: [latex]
\begin{enumerate}[label = $\bullet$]
\item $A$ est symétrique réelle, donc $A$ est diagonalisable dans $\rr$.
\item Comme $X^k-1$ est annulateur, alors $\spectre(A) \subset\{e^{\frac{2ip\pi}{k}}~|~0\leq p \leq k-1\}$.
\item On en déduit que $\spectre(A) \subset\{-1,~1\}$
\item  En diagonalisant ou en considérant les 3 polynômes minimaux possibles, on obtient $A^2=I_n$
\end{enumerate}[/latex]

Front: [latex] \#37 \SP Soit $G$ un sous-groupe fini de $(\gl[n]\cc,\times)$ et $A \in G$.\\
Montrer que $A$ est diagonalisable.[/latex]
Back: [latex] On note $p = \card(G)$.\\
Le théorème de Lagrange nous dit alors que $A^p=I_n$.\\
Comme $X^p-1$ est scindé simple dans $\cc$, alors $A$ est diagonalisable.[/latex]

Front: [latex] \#38 \SP Soit $A,~B \in \mn[n]\cc$ telles que $\spectre(A) \cap \spectre(B) = \emptyset$.\\
Montrer que $\chi_A(B)$ est inversible.[/latex]
Back: [latex] $\chi_A$ est scindé et est de la forme $\dis \chi_A(X)=\prod_{k=1}^n (X - \lambda_k)^{\alpha_k}$.\\
Nous avons alors :
$$\dis \chi_A(B)=\prod_{k=1}^n (B - \lambda_k I_n)^{\alpha_k} \text{ \SP avec \SP } \forall k \in \interventier{1}{n},~\SP B - \lambda_k I_n \in \gl[n]\cc$$[/latex]

Front: [latex] \#46 \SP Que dire de deux endomorphismes diagonalisables qui commutent ?[/latex]
Back: [latex] Ils sont diagonalisables dans une même base !\\
\emph{\small \underline{Je vous conseille de connaître la démonstration du cours} :\\\\
Elle consiste à remarquer que les sep de $u$ sont stables par $v$.\\
Comme $v$ est diagonalisable, les endomorphismes induits par $v$ sur ces sep sont diagonalisables et ces sep admettent donc des bases de vecteurs propres de $v$.\\
La base obtenue est une base de diagonalisation de $u$ ET $v$.}[/latex]

Front: [latex] \#48 \SP Quelles sont les matrices qui admettent une décomposition de Dunford ?[/latex]
Back: [latex] Toutes les matrices trigonalisables !\\
\emph{On obtient cette décomposition de Dunford en utilisant la décomposition de $\mn[n,1]\kk$ en somme directe des sev caractéristiques (issus de l'application du théorème de décomposition des noyaux au polynôme caractéristique ou au polynôme minimal.)}[/latex]