De la notion de Chaos à  la notion de Fractales
 
Un nouveau regard sur la nature .....
 
 
 
Partie A : Les formes stables du déterminisme
 

On dira qu'un phénomène est déterministe si il est parfaitement déterminé par des lois. Dans ce contexte, quoi de plus déterministe que les termes successifs d'une suite récurrente ?... Nous avons une valeur initiale U0, et une relation reliant Un+1 à Un. Ainsi, toutes les valeurs de la suite sont parfaitement déterminées et donc prédictibles. La valeur de Un évolue donc bien de façon déterministe !

Le but de cette partie est d’analyser les différents modes d’évolution du terme général Un

 

Activité 1 : Observation des manifestations du déterminisme
 

Considérons la suite récurrente suivante.

Cette suite s’appelle “la suite logistique”.
 
Dans cette activité, nous allons faire varier les valeurs du paramètre "a", afin de savoir si un même processus déterministe (cette relation de récurrence) peut donner lieu à des évolutions de Un différentes.

Nous prendrons systématiquement U0 = 0,6 dans chacune des simulations suivantes.

Décrivez dans le tableau suivant, le comportement de la suite (Un) pour des valeurs de n assez grandes dans chacun des cas suivants :

 
 

 Réponse :
 

 
Activité 2 : L’émergence d’un événement inattendu

Posons-nous la question d'ordre philosophique suivante : "les lois qui régissent l'évolution de la nature se sont-elles toutes manifestées à nos yeux ?"... Le monde existe depuis si longtemps qu’il serait surprenant que des événements inconnus se produisent. Et pourtant peut-on en être vraiment sûr ? A l'échelle de l'univers, la terre n'existe que depuis si peu de temps ... L’étude des suites précédentes peut nous aider à répondre partiellement à cette question.

Supposons que la suite logistique étudiée précédemment représente une loi naturelle qui ne se serait pas encore manifestée dans l’univers. Bien entendu, les scientifiques (et donc la société entière) ne peuvent soupçonner son existence. Un phénomène naturel résultant de cette loi peut-il apparaître soudainement et plonger l'humanité dans la plus grande perplexité ?...
Pour le savoir, prenons une valeur très faible de U0 : par exemple U0 = 10-9
Avec une valeur initiale aussi négligeable, un phénomène observable résultant de cette loi peut-il raisonnablement se produire un jour ?....

Eh bien observons ce qui se passe en représentant graphiquement les 100 premiers termes de la suite dans chacun les cas suivants :
 

 

 Réponse :

Que pouvez-vous en conclure ?....

En observant le comportement de ces suites, il semblerait que même une quantité aussi négligeable que 10-9 peut donner lieu, à plus ou moins long terme, à un phénomène observable. Ce phénomène peut prendre différentes formes possibles allant de la convergence(a = 1,2 ou a = 2) à la divergence vers - l'infini (a = 4,5) en passant par la périodicité(a = 3 ou a = 3,2) ou encore le désordre (a = 4).

Pourquoi dans la nature ne pourrions-nous donc pas, un jour, assister à un phénomène nouveau ?
 
 
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