Introduction :

Contrairement aux apparences, le hasard est une notion très complexe. On l'assimile habituellement à la notion d'imprédictabilité : on considére donc qu'un phénomène dont l'issue est imprédictible est dû au hasard. Mais qu'est-ce qui détermine le hasard ? Y-aurait-il une influence divine derrière le hasard ?.... Nous tenterons d'expliquer les mécanismes à l'origine du hasard dans la partie D.

Dans cette partie, nous allons essayer de décrire les formes prises par le hasard. Commençons par une rapide définition : nous dirons qu'une expérience est aléatoire si son issue est due au hasard, et est donc imprédictible. Il existe plusieurs types d'expériences aléatoires. Pour vous en convaincre, prennez un dé et lancez-le. Il y a 2 possibilités : ou bien ce dé est truqué, ou bien il est parfaitement équilibré. Dans les 2 cas, le résultat est imprédictible : on a donc bien deux expériences aléatoires. Mais le hasard prend 2 formes différentes : dans le cas du dé truqué, certains résultats seront plus probables que d'autres alors que dans le cas du dé équilibré, tous les résultats sont équiprobables.

Dans cette partie, nous allons décrire et utiliser des méthodes pour vérifier si un ensemble de résultats proviennent d'une expérience aléatoire équiprobable.

• Le premier test nous permettra de tester l'équiprobabilité (ou l'équirépartition) de ces résultats sans présuposer de leur caractére aléatoire.
• Dans le cas où ces résultats sont bien équiprobables, le deuxième test nous permettra de tester leur caractére aléatoire.

Test 1 : tester l’équiprobabilité des résultats

Supposez que vous lanciez 100 fois un dé à 6 faces correctement équilibré. Chaque face ayant la même probabilité d’apparaître, vous devriez, en moyenne, obtenir 16,7 fois chaque face. Effectuez cette expérience et notez le nombre de fois où chaque face apparaît. Normalement, ces nombres doivent être assez proches de 16 ou 17. Si ces nombres sont très différents de 16 ou 17, les résultats ne sont pas équiprobables, et le dé n’est donc pas équilibré.

Pour effectuer cette expérience, vous pouvez, bien sûr, prendre un dé et le lancer 100 fois. Vous pouvez aussi faire un programme simple sur votre calculatrice ou encore utiliser l’imagiciel du CNAM “Proba.exe”.

Supposons maintenant, que l’expérience consiste à tirer au hasard un nombre réel compris entre 0 et 1. Répétons cette expérience 100 fois de suite. Si tous les résultats sont effectivement équiprobables, nous devrions obtenir en moyenne 10 résultats dans l’intervalle [0 ; 0,1[, 10 résultats dans [0,1 ; 0,2[ .... etc .... et 10 résultats dans l’intervalle [0,9 ; 1].

Pour effectuer cette expérience, vous pourrez utiliser la fonction “rand” de votre calculatrice, ou utiliser un tableur. La fonction “rand” donne aléatoirement et de façon équiprobable, un nombre compris entre 0 et 1.
 

• Effectuez cette expérience à 3 reprises et chaque fois, remplissez le tableau suivant.

• Interprétez les valeurs obtenues .....

  Réponse partielle :
 

Vos résultats semblent en effet montrer que les tirages sont équiprobables.
Mais sur quels critères exacts pouvons-nous affirmer que c’est effectivement le cas ?...
La réponse à cette question dépasse malheureusement le cadre du programme du lycée ...

Test 2 : tester l’indépendance de 2 résultats consécutifs

Une expérience est aléatoire si ses résultats sont imprédictibles. En particulier, si on renouvelle l'expérience 2 fois, le premier résultat obtenu ne peut en aucun cas nous permettre de prédire le deuxiéme. Ces 2 résultats sont dits indépendants !

Supposons que l’expérience consiste à tirer au hasard et de façon équiprobable, un nombre réel compris entre 0 et 1. Pour tester l’indépendance entre 2 tirages consécutifs (et donc le caractère aléatoire de cette expérience), une vérification usuelle est de compter le nombre de suites de 2 nombres consécutifs appartenant à chacun des intervalles [0 ; 0,1[, [0,1 ; 0,2[ ...... [0,9 ; 1]. Si ces résultats sont totalement aléatoires et équiprobables, ce nombre devrait être en moyenne égal à 0,1.
Pouvez-vous expliquer pourquoi ?

Effectuez cette expérience à 3 reprises et :
 

• Notez vos résultats dans le tableau suivant.

• Interprétez les valeurs obtenues .....

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