Plusieurs fois par semaine, la télévision procède
au tirage du Loto national. On obtient ainsi un série de numéros
gagnants. L'examen d'un grand nombre de tirages montre que les séries
sont tirées « au hasard ». Aucune loi, aussi sophistiquée
soit-elle, ne permet de déduire d'un tirage le moindre enseignement
sur le tirage suivant. Ces tirages n'ont aucun rapport, aucune corrélation
entre eux. Pour comprendre l'origine de ce hasard, il suffit d'examiner
le processus du tirage du Loto. Des boules porteuses de numéros
sont introduites dans une sphère. Des bras agitent vigoureusement
ces boules, qui subissent des multitudes de chocs, d'une part entre elles,
d'autre part avec ces bras. Après cette vigoureuse agitation, qui
mélange complètement les boules, une trappe s'ouvre, permettant
à une boule de sortir ; le premier numéro est tiré.
Au bout d'une nouvelle phase d'agitation, une deuxième boule s'échappe,
et ainsi de suite. On comprend aussitôt la raison pour laquelle l'ordre
dans lequel ont été mises les boules - à supposer
qu'il y en ait un - est complètement effacé par la multitude
des chocs de tout ordres... Et les numéros sortent dans n'importe
quel ordre, au hasard. La difficulté à prédire un
résultat est naturellement liée à la complexité
du système. Plus le procéssus à l'origine du résultat
est complexe, plus il nous sera difficile de prédire ce résultat.
C'est le cas des tirages du loto, mais c'est aussi le cas pour la vie
d'une personne. Dans ces 2 exemples, les mécanismes mis en jeu sont
trop complexes pour nous permettre tout type de prédiction, et ce,
même si les conditions présentes nous sont parfaitement connues.
Doit-on en conclure que si le processus est simple, alors nous pouvons
nous autoriser des prédictions ?
Le but de cette partie est de répondre à cette question
.....
Activité 1 : Stabilité des comportements réguliers
Pour étudier la stabilité d'un processus, nous allons nous poser la question suivante :
Pour le savoir, je vous propose de reprendre la suite logistique étudiée dans la partie A.
Activité 2 : Stabilité du Chaos : L’effet
papillon !
Introduction :
Edward Lorenz, travaillant au M.I.T. (Massachusetts Institute of Technology)
fut un des premiers météorologues ayant essayé à
simuler la météo sur ordinateur. Conscient des difficultés
de la prédiction météo, il y trouvait cependant un
intérêt mathématique, à savoir la preuve de
la promesse de NEWTON, selon laquelle le monde suivait une trajectoire
déterministe. Bien qu'avec son ordinateur primitif il avait réduit
l'atmosphère à sa plus simple expression, la simulation des
vents et des températures se comportait comme sur terre. Un jour
d'hiver 1961, au lieu de reprendre au début l'exécution de
son programme, Lorenz prit un raccourci: il commença en mi-chemin.
Après avoir entré les conditions initiales, il allait boire
une tasse de café; quand il revint une heure plus tard, il aperçut
quelque chose d'inattendu, quelque chose qui allait engendrer une nouvelle
science.
Entre les résultats antérieurs et ce nouveau résultat,
issu d'un point de départ légèrement différent,
il n'y avait plus aucune ressemblance! Lorenz comprit très vite:
tout avait bien fonctionné, le problème se trouvait dans
les nombres qu'il avait tapés; l'ordinateur gardait en mémoire
6 chiffres dont 3 décimales seulement apparaissaient à l'impression
pour économiser de la place. Ayant entré des nombres arrondis,
en supposant que la différence (un pour un millier) serait sans
conséquences, les petites erreurs se révélaient être
catastrophiques. Ainsi une petite erreur numérique (un léger
souffle de vent) suffisait pour rendre impossible toute prévision
de la météo. Lorenz a réalisé que tout système
physique ayant un comportement non périodique, était imprévisible.
Apparut alors la notion d'effet papillon, selon laquelle le battement des
ailes d'un papillon à Hong Kong pouvait donner naissance à
un orage à New York.
Nous avons vu dans l'activité précédente que les
suites régulières (convergentes, périodiques ...)
étaient très stables. En effet, si l’on modifie légèrement
la condition initiale U0, le comportement de la suite
n’est pas modifié.
En est-il de même lorsque la suite est chaotique ?....
Pour le savoir, il suffit de prendre une suite chaotique et de faire l’expérience ....
Considérons la suite logistique.
Observez et décrivez ce qui se passe si :
Citation d’Henri Poincaré :
Finalement, répondez à la question suivante :
Question : "Quelles peuvent-être les raisons de
l'imprédictabilité d'un événement ?"