De la notion de Chaos à la notion
de Fractales
Un nouveau regard sur la nature .....
Partie E : Les diagrammes de bifurcation
Nous allons étudiez les différents comportements de la
suite de Steward :
Pour cela, nous allons fixer une valeur de L, puis observer le comportement
de la suite en donnant à U0 des valeurs différentes
(nous prendrons U0 entre 0 et 1).
Activité 1 : Première exploration
Pour les différentes valeurs de L proposées, étudiez
le comportement de la suite de Steward, et résumez les résultats
que vous obtenez dans le tableau suivant :
Vous avez constaté que la suite de Steward admet des comportements
différents selon les valeurs prises pour L.
En particulier :
• pour L = 0,7 la suite converge vers une limite donnée
• pour L = 1 la suite est périodique de période 2
Il semble donc que pour une valeur de L comprise entre 0,7 et 1, la suite
change de comportement.
Retrouvez cette valeur de L à 10-2 près.
Activité 2 : Diagramme de bifurcation
Définition :
Considérons de nouveau la suite de Steward :
Le diagramme de bifurcation de cette suite est défini de la façon
suivante :
On représente L en abscisse (L compris entre 0,7 et 2,3) et on
porte en ordonnée, les valeurs obtenues par les termes de la suite,
après un certain nombre d'itérations (200 par exemple). Pour
chaque valeur de L, l'opération est recommencée un grand
nombre de fois en choisissant à chaque fois une valeur aléatoire
du premier terme U0 (comprise entre 0 et 1).
On obtient ainsi le diagramme de bifurcation de la suite de Steward.
Vous obtiendrez le diagramme de bifurcation de la suite de Steward grâce
au programme “Winfrac”.
Pour obtenir le diagramme effectuez les opérations suivantes
:
• Ouvrez le logiciel “Winfrac”
• Dans le menu Fractals, choisissez l’option Fractal Formula...
• Dans la liste qui apparaît, choisissez “bifsteward”.
• Pour adapter la taille du dessin à celle de votre ordinateur,
choisissez Image Settings dans le menu View
Remarque : Pour effectuer un agrandissement d’une zone, il suffit
d’encadrer cette zone avec la souris.
Exploration de la zone de régularité
En utilisant ce diagramme et en vérifiant vos hypothèses
avec la représentation graphique de la suite (Un), répondez
aux questions suivantes : (vous donnerez vos réponses à 10-3
près)
1) Pour quelle valeur de L, la suite devient périodique de période
2 ?
2) Pour quelle valeur de L, la suite devient périodique de période
4 ?
3) Pour quelle valeur de L, la suite devient périodique de période
8 ?
4) Pour quelle valeur de L, la suite devient périodique de période
16 ?
5) A partir de quelle valeur de L la suite devient-elle chaotique ?
6) Que se passe-t-il à partir de 2 ?
7) Vérifiez toutes ces remarques en traçant dans chaque
cas, la représentation graphique de (Un).
Réponses aux questions :
Exploration de la zone de chaos
Lorsque L devient plus grand que 1,401 nous entrons dans la zone de
chaos .... Pourtant, en observant le diagramme de bifurcation, on constate
que cette zone n’est pas complètement uniforme. On observe en effet
par endroit des fenêtres où le chaos semble s’estomper. Plongeons-nous
dans l’infiniment petit et partons explorer la structure de ces fenêtres
....
Exploration d’une fenêtre :
Parmi toutes les fenêtres qui apparaissent au sein du chaos, allons
explorer la structure interne de la plus belle : la 3ième !!
Effectuez un agrandissement de cette 3ième fenêtre.
En observant le diagramme obtenu répondez aux questions suivantes
:
1) D’après vous, pour quelles valeurs de L, la suite (Un) est-elle
périodique de période 3 ?
Tracez la représentation graphique de (Un)
pour une de ces valeurs.
2) D’après vous, pour quelles valeurs de L, la suite (Un) est-elle
périodique de période 6 ?
Vérifiez votre résultat ......
3) A l’intérieur de la fenêtre, pour quelle valeur de L
le chaos semble-t-il réapparaître ?
4) Qu’est-ce que vous observez à l’intérieur de cette
nouvelle zone de chaos ?
Réponses aux questions :
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