Ceci est un TD (ou un Devoir à la Maison) sur les fonctions au niveau seconde. En partant d'une situation concrète, il présente une approche graphique de la notion de fonction, puis une formulation analytique.

le problème ....

Présentation de la situation :

Patrick est un skieur de fond participant a la célèbre compétition : le "carré du Vercors".
Le parcours suivi est un carré A B C D de six kilomètres de coté et le départ est donné en A.
Afin de prendre quelques photos, les enfants de Patrick, Sophie, Louis et Guillaume se sont placés respectivement en A, E (milieu de [A ; B]) et O (centre du carré).

On notera :

- x la distance parcourue par Patrick
- d1(x) la distance séparant Sophie de son père
- d2(x) la distance séparant Louis de son père
- d3(x) la distance séparant Guillaume de son père.

On remarquera que :

- ces trois distances dépendent de la position x de Patrick : on dira que d1, d2 et d3 sont des fonctions de la variable x.
- x ne prend que des valeurs entre 0 et 24 : on dira que l'ensemble de définition de ces 3 fonctions est [0 ; 24 ].

L'objet du problème est de déterminer une représentation analytique et graphique des 3 fonctions d1, d2 et d3.
 

Première partie : Représentation graphique des 3 fonctions

 
1) Remplir le tableau suivant : Vous pourrez vous aider d'un dessin pour chacune des positions de Patrick.
 

2) Déterminer intuitivement, les intervalles de x sur lesquels les fonctions d1, d2 et d3 sont croissantes.
    De même pour "décroissantes".

 
3) Soient C1, C2 et C3 les représentations graphiques des fonctions d1, d2 et d3.

- Tracer dans un repère cartésien les points de C1, C2 et C3 calculés à la question 1).
- Déduire de la question 2) un tracé approximatif des trois courbes.
- Maximum et minimum :

Déterminez graphiquement le minimum et le maximum des 3 fonctions.
Pour quelles valeurs de x ces extremums sont-ils atteints ?
Pouvait-on prévoir tout cela sans calcul ?

Deuxième partie : représentation analytique des 3 fonctions.

 
1) Supposez que Patrick se trouve entre A et E : Cela signifie que 0 <= x <= 3.

a) Calculer d1(x), d2(x) et d3(x). Pensez, éventuellement à utiliser le théorème de Pythagore ......

b) Vérifiez qu'en remplaçant x par 0, puis par 3, on obtient les résultats du tableau précédent
 

2) Supposez que Patrick se trouve entre E et B : Cela signifie que 3 <= x <= 6.

a) Calculer d1(x), d2(x) et d3(x).

b) Vérifiez qu'en remplaçant x par 0, puis par 3, on obtient les résultats du tableau précédent
 

Remarque : On pourrait faire la même chose avec : 6 <= x <= 9, puis avec 9 <= x <= 12 ... etc .....

Remarque :

Les expressions que vous obtiendrez sont appelées les "représentations analytiques" des fonctions d1, d2 et d3. 
Vous constaterez que ici, ces représentations analytiques changent en fonction de l'intervalle dans lequel se trouve x.

En résumé :

Nous avons vu qu'une fonction numérique peut se représenter :

- soit par une formule : c'est la "représentation analytique" de la fonction
- soit par une courbe : c'est la "représentation graphique" de la fonction