Dans ce devoir, les élèves recherchent le régime alimentaire de l'élan qui assure le maximum d'énergie compte tenu de contraintes particulières. C'est un exercice de programmation linéaire.
Partie A] : modélisation des contraintes
Partie B] : analyse graphique
Présentation du contexte :
Ensemble, nous allons tenter de déterminer le régime alimentaire de l'élan.
Les différents chercheurs ayant étudié cet animal ont relevé les caractéristiques suivantes.
L'élan se nourrit dans 2 types de milieu, en forêt, où il broute les feuilles, et dans les lacs, où il recherche des plantes aquatiques. Ces dernières sont riches en sodium mais peu énergétiques, tandis que les plantes terrestres pauvres en sodium ont un contenu relativement plus élevé en énergie. L'élan a besoin à la fois d'énergie et de sodium pour survivre et se reproduire : son régime alimentaire est donc mixte. La quantité de nourriture qu'il peut absorber en une journée est limitée par la capacité de sa poche stomacale : 19 litres.
Nous allons tenter de déterminer mathématiquement le meilleur régime alimentaire de l'élan.
L'analyse de ces plantes a permis d'effectuer les mesures suivantes :
Volume massique :
- pour les plantes terrestres : 0,9 litres / Kg
- pour les plantes aquatiques : 1,3 litres / Kg
Teneur en sodium :
- pour les plantes terrestres : 0 mg / Kg
- pour les plantes aquatiques : 4 mg / Kg
L'élan a besoin d'absorber quotidiennement un minimum de 16 mg de sodium.
Teneur énergétique :
- pour les plantes terrestres : 2900 Kilocalories / Kg
- pour les plantes aquatiques : 2750 Kilocalories / Kg
L'élan a besoin quotidiennement d'un minimum de 48 000 Kilocalories pour survivre.
Pour résoudre ce problème mathématiquement, appelons :
x : la masse (en kg) de plantes terrestres absorbée quotidiennement par l'élan
y : la masse (en Kg) de plantes aquatiques absorbée quotidiennement par l'élan
Nous pouvons formuler notre question sous la forme suivante :
"Quelles quantités x et y l'élan doit-il consommer par jour
pour assimiler le maximum d'énergie ? "
1) x et y ne peuvent pas prendre n'importe quelles valeurs réelles, pourquoi ? ....
2) Quelle relation traduit le besoin minimum en sodium ?
3) Quelle relation entre x et y traduit la capacité limitée de l'estomac ?
4) Quelle relation entre x et y traduit le besoin minimum en énergie ?
5) Simplifiez chacune des 3 relations précédentes et montrez que x et y vérifient le système d'inéquations suivant :
1) Dans un repère bien choisi ( ! ! ! ) déterminez l'ensemble des points M(x ; y) qui vérifient les contraintes déterminées précédemment.
2) Parmi tous ces points, tracez l'ensemble des points M(x ; y) "qui fournissent" un apport énergétique de 52 000 Kilocalories.
3) Déterminez graphiquement le régime alimentaire optimum (qui fournit le maximum d'énergie) de l'élan.
4) Confirmez votre résultat par le calcul ....
Remarque :
Ce devoir est inspiré de l'étude réalisée par G. E. Belovsky en 1978 et publiée dans "An introduction to behavioral ecology" de Krebs et Davis. Ses observations d'une population d'élans prés du lac supérieur dans le Michigan ont confirmé les résultats obtenus mathématiquement.
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