Ce TD (qui peut aussi être donné en Devoir à la
Maison) est destiné à des élèves
de secondes qui viennent de découvrir la notion de fonction
numérique. Il présente une histoire incomplète
pouvant présenter plusieurs dénouements possibles.
Dans un premier temps, les élèves sont amenés à imaginer ces dénouements. Puis, à
l'aide d'un modèle mathématique, ils vont essayer de prévoir ce qui va réellement se passer. Enfin,
ils pourront exploiter le modèle pour prévoir la fin de l'histoire si les conditions de départ varient.
Un dimanche d'automne, Pierre part à la chasse avec son arc.
Cette fois, il est décidé à se débarrasser
de son ennemi de toujours : le faucon. Se sentant observé,
Pierre lève les yeux au ciel. Le faucon est
là, juste au dessus de lui. Pierre saisit son arc, vise, et
tire ! ! Au moment où la flèche part,
le faucon plonge droit sur Pierre.
Que va-t-il se passer ? ? ? ....
Pour facilité la représentation mathématique de la situation, nous supposerons que la flèche et
que le faucon évoluent sur la même trajectoire verticale.
Soit t le temps exprimé en seconde, et h(t), la fonction donnant la hauteur de la flèche en fonction du temps.
On choisira pour origine des temps (t = 0) l'instant où la flèche part et où le faucon plonge !
On suppose que la hauteur de la flêche a pour expression analytique :Nous allons dans un premier temps, étudier la fonction h.
1) Ensemble de définition :
a) Calculez : h(-3) puis h(5).
b) Peut-on prendre pour valeur de t tous les réels ? Pourquoi ? ....
c) Comment choisir les valeurs de t qui vont convenir ? Exprimez cette condition sous la forme d'une inéquation.
d) Trouvez l'ensemble des valeurs de t convenables.
2) Etude du sens de variation de h :
Comme nous venons de le voir, nous nous limiterons à t appartenant à l'intervalle [0 ; 4].
a) D'après vous, comment va varier la fonction h ?
b) Etude sur [0 ; 2]Soient a et b appartenant à [0 ; 2], tels que a < b
Pour montrer que h est croissante sur [0 ; 2], nous allons montrer que h(a) < h(b).
Pour cela :- montrez que h(a) - h(b) = 5(a - b)[4 - (a + b)]
- en déduire que h(a) < h(b) et donc que ....c) De même, montrer que h est décroissante sur [2 ; 4].
d) Dressez le tableau de variation de h sur [0 ; 4].
3) Tracer la représentation graphique de h.
Quelle est l'altitude maximale atteinte par la flèche ? A quel moment atteint-elle cette position ?
On suppose qu'à l'instant t = 0, le faucon plonge à la verticale de Pierre d'une hauteur de 50
m et à la
vitesse de 10 m/s. On note d(t) la hauteur du faucon à l'instant t.
1) Placez sur le graphe les points donnant la position du faucon aux instants t = 0, t = 2, t = 4.
Pensez-vous que la flèche va tuer le faucon ?
2) Etude complète :
a) Trouvez l'expression de d(t) en fonction de t. Reconnaissez-vous une fonction de type connu ?
b) Tracez sur le graphe précédent, la représentation graphique de la fonction d.
1) Par une analyse graphique, décrivez ce qui va se passer.
Peut-on retrouver ce résultat par une méthode algébrique (en résolvant une équation) ? Faîtes- le !
2) a) Que fait la droite si l'on fait varier la hauteur de départ du faucon en gardant la même vitesse ?
b) Que fait la droite si l'on fait varier la vitesse du faucon ?
3) Questions complémentaires :
a) Si la vitesse du faucon reste 10 m/s. Pour quelles hauteurs de départ le faucon aurait-il été tué ?
Justifiez correctement votre résultat ....
b) Si la hauteur du faucon reste 50 m. Pour quelles vitesses le faucon aurait-il été tué ?
Justifiez correctement votre résultat ....
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