Le modèle Prédateur-Proie

Ce devoir s'adresse aux élèves de première ou terminale (scientifique ou littéraire) ayant suivi le cours sur les suites numériques. Loin de proposer des calculs compliqués sur les études de suite, il met l'accent sur une application concrête des suites numériques. Il s'agit plus de la modélisation d'une situation concrête et de son utilisation, que d'une étude théorique.

Ce devoir est constitué de 4 parties :

Partie I : Construction du modèle Prédateur-Proie

Partie II : Vérification du comportement du modèle

Partie III : Utilisation du modèle pour la gestion d'un parc naturel

Partie VI : Discussion

Les Lynx et Lièvres du Michigan

Depuis le milieu du XIX ième siècle, la compagnie de la baie d'Hudson a pu évaluer à partir de statistiques sur les fourrures récupérées, l'évolution respective de la population du lynx du Canada et celle du lièvre variable.

Le graphique suivant donne les résultats obtenus par la compagnie :

Les scientifiques se sont interrogés sur la forme de ces résultats.
D'où viennent les oscillations observées ?...
Comment expliquer que ces oscillations soient légèrement décalées ?...
Incontestablement, ces résultats sont trop particuliers pour être le fruit du hasard.

Alors, comment les expliquer ?...

Rapidement, ils ont constaté que le lièvre variable était la proie principale du lynx. Est-ce là l'explication recherchée ?... Cela n'est qu'une hypothèse et sans doute beaucoup d'autres explications pourraient être proposées : seule une étude scientifique doit permettre de lever cette incertitude.

Des chercheurs en écologie ont décidé de construire un modèle mathématiques permettant de prédire l'évolution des effectifs de lynx et de lièvres, en partant du principe que seule l'interaction prédateur-proie avait une influence sur ces évolutions. En particulier, ils ont considéré comme négligeables, les variations du climat, la présence éventuelle d'autres proies ou d'autres prédateurs, ou encore les effets des maladies ou du parasitisme. Si ce modèle arrivait à prédire les observations faites dans le milieu naturel, alors l'interaction prédateur-proie serait bien la principale explication des variations observées.

Je vous propose de suivre les traces de ces scientifiques en construisant ensemble le modèle.....

 

Partie I : Construction du modèle

 

Pour représenter l'évolution de chacune des 2 populations, nous pouvons définir les suites (Un) et (Vn) suivantes :

- Un pourrait représenter le nombre de lynx l'année n

- Vn pourrait représenter le nombre de lièvres l'année n

Déterminons alors les formules définissant (Un) et (Vn) :

Chaque année, les populations animales évoluent en fonction de 2 paramètres :

- le taux de natalité

- le taux de mortalité.


1] Evolution du nombre de lynx :

a) Taux de mortalité des lynx :

Les lynx sont des animaux très résistants, et peuvent résister à un hiver rigoureux malgré une grande pénurie de nourriture.

Pensez-vous que le taux de mortalité des lynx soit dépendant du nombre de lièvres ?

Si oui, proposez une relation simple entre ce taux TM et le terme Vn.

b) Taux de natalité des lynx :

Pour pouvoir survivre, les jeunes lynx ont besoin d'une quantité de nourriture importante.

Pensez-vous que le taux de natalité des lynx soit dépendant du nombre de lièvres?

Si oui, proposez une relation simple entre ce taux TN et le terme Vn.

c) Expression de Un+1 :

Justifiez la relation suivante :

où M et N sont des nombres positifs


2] Evolution du nombre de lièvres :

a) Taux de mortalité des lièvres :

Le lièvres, nous l'avons vu, sont chassés par les lynx.

Pensez-vous que le taux de mortalité des lièvres soit dépendant du nombre de lynx ?

Si oui, proposez une relation simple entre ce taux TM' et le terme Un.

b) Taux de natalité des lièvres :

Pensez-vous que le taux de natalité des lièvres soit dépendant du nombre de lynx ?

Si oui, proposez une relation simple entre ce taux TN' et le terme Un.

c) Expression de Vn+1 :

Justifiez la relation suivante :

où M' et N' sont des nombres positifs.


3] Conclusion

Les 2 suites (Un) et (Vn) sont donc des suites "imbriquées" définies par le système :

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Partie II : Le modèle explique-t-il les observations de la compagnie d'hudson ?

 

Le modèle étant construit, nous ne pouvons le faire fonctionner sans donner des valeurs aux paramètres M, N, M' et N'.

Les études de terrain des scientifiques, ont donné les résultats suivants :

M = 0,03 N = 0,0002

g

M' = 0,001 N' = 0,05

Sur leur terrain d'étude les chercheurs ont dénombré 50 lynx et 200 lièvres.

Nous pourrons donc prendre ces valeurs pour valeurs de départ des 2 suites.

En utilisant votre machine à calculer (TI 82 ou plus ...), représentez sur un même graphe les 400 premiers termes des suites (Un) et (Vn).

1) Que pensez-vous du résultat obtenu ?....

2) Déterminez la période des oscillations observées.

3) Déterminez les tailles maximum et minimum des 2 populations.

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Partie III : Utilisation du modèle pour la gestion d'un parc naturel

 

Nous venons de voir que le modèle construit précédemment permettait d'expliquer les variations observées par la compagnie d'Hudson.

Seulement, les responsables des parcs naturels du Canada, très intéressés par cette étude scientifique, souhaitent utiliser ce modèle comme outil de gestion des populations. En effet, il voient dans ce modèle, la possibilité de prédire l'évolution de l'effectif des 2 populations dans le cas d'une modification volontaire ou involontaire de leur environnement.


1) En particulier, la population de loups du Canada étant en voie de disparition, un projet de préservation est à l'étude. Seulement, le loup est lui aussi un prédateur de lièvres. Les responsables des parcs se demandent si en protégeant les loups, ils ne menacent pas les populations de lièvres et de lynx.

Les scientifiques du parc estiment qu'une augmentation du nombre de loups augmenterait le taux de mortalité des lièvres à : M' = 0,0025

a) Avec votre calculatrice, représentez dans ce cas l'évolution du nombre de lièvres et de lynx.

b) Expliquez les évolutions observées.

c) En tant que gestionnaire du parc, prendrez-vous le risque de préserver la population de loups ? Justifiez avec précision votre réponse .....


2) Au nom d'une tradition ancestrale, les trappeurs de la région réclament le droit de reprendre la chasse au lynx.

a) En tant que gestionnaire du parc, pensez-vous pouvoir leur donner ce droit sans que cela ne menace les populations de lynx et de lièvres ?

b) En supposant qu'en autorisant la chasse au lynx le taux de mortalité des lynx passe à M = 0,08 quelle est l'évolution du nombre de lièvres et de lynx prédite par le modèle.

c) Quelle décision allez-vous prendre en tant que gestionnaire du parc ?


3) Les gestionnaires du parc se préoccupent du réchauffement de l'atmosphère. Ils savent que si la température augmente légèrement, les jeunes lièvres auront plus de chances de survivre. Le taux de natalité des lièvres sera donc en augmentation.

a) Intuitivement, pensez-vous que le réchauffement de l'atmosphére soit une menace pour les populations de lièvres et de lynx ?

b) En supposant que le taux de natalité des lièvres passe à N' = 0,11 expliquez précisément ce que prédit le modèle.

c) Quelle décision allez-vous prendre en tant que gestionnaire du parc ?


4) Pour préservez de façon efficace les lynx, les gestionnaires des parc proposent de protéger en priorité les lieux de reproduction. Ils pensent ainsi augmenter le taux de natalité du lynx jusqu'à N = 0,0008.

a) Intuitivement, pensez-vous que cette action soit bénéfique pour accroître les chances de préservation du lynx ?

b) Mais vous savez qu'il faut parfois se méfier de l'intuition ....

Utilisez le modèle pour valider ou au contraire rejeter votre première intuition.

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Partie IV : Discussion

 

En quelques lignes, discutez de l'intérêt des mathématiques dans l'étude des systèmes écologiques. Voyez-vous d'autres domaines dans lesquels les mathématiques peuvent apporter des réponses aux questions posées par notre société ?...

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Remarque :

Dans ce devoir, les données de la compagnie de la baie d'Hudson sont réelles et le modèle mathématique proposé est effectivement encore utilisé afin de gérer certaines populations animales. Seule la Partie III a été inventée pour vous donnez une idée des problèmes rencontrés par les gestionnaires et la façon dont ils peuvent rechercher des solutions.


Pascal Delahaye :  pdelahay@ac-grenoble.fr / 2 novembre 1998