Enoncé

Soit ABCD un carré et (C) le cercle de centre B et de rayon [BC].

Soit M un point de (C) situé à l'extérieur du carré. A partir du point M, on construit le triangle MAM' tel que :

1. C appartienne à (MM')
2. Angle(MAM') = 90°

1) Démontrez à l'aide du théorème de l'angle inscrit que AMM' est un triangle rectangle isocèle

Le point M appartient à l'arc AC. D'après le théorème de l'angle inscrit, l'angle(AMC) est égal à la moitié de l'angle(ABC). Par conséquent : Angle(AMM') = 45°

Considérons maintenant le triangle AMM'. Nous savons que :

1. Angle(M'AM) = 90°
2. Angle(AMM') = 45°
3. La somme des angles est égale à 180°

Donc l'angle(AM'M) = 45°

Le triangle AMM' est donc bien rectangle isocèle

AMM' est rectangle isocèle, par conséquent :

1. AM = AM'
2. Angle(MAM') = -90° (si le plan est orienté dans le sens direct)

M' est donc l'image de M par la rotation de centre A et d'angle -90°

3) En déduire le lieu des points M' lorsque M décrit le cercle (C)

M' est l'image de M par la rotation de centre et d'angle -90°. Appelons R cette rotation. Donc si M décrit le cercle (C), M' va décrire l'image de ce cercle par cette rotation. Or, nous savons que l'image de (C) est un cercle de même rayon et dont le centre est l'image de B.

Or : R(B) = D

M' décrit donc le cercle de centre D et de rayon DC.