Introduction :
Dans l'introduction, vous vous en souvenez, Laplace faisait preuve d'un immense optimisme en prétendant que les lois de la nature devaient nous permettre de prédire l'évolution du monde. En effet, les premiers calculs effectués en utilsant la loi de gravitation universelle semblaient expliquer parfaitement le mouvement des corps ! Mais cette loi même portait en elle les germes de l'effondrement de la toute-puissance du déterminisme. En effet, si une planète est attirée par le Soleil, elle l'est aussi - certes, avec une moindre intensité - par les autres planètes. Et Newton, calculant les orbites des planètes, ne considérait que le problème « à deux corps » lié à la seule interaction entre le Soleil et une planète. Or il convient de se poser la question de l'influence, sur cette trajectoire, des perturbations apportées par l'attraction des autres planètes. Newton, Laplace et Lagrange se sont inquiétés de cette question, mais ils se sont heurtés aux connaissances limités en mathématiques de leur époque. Ce qui est ardu n'est pas d'écrire les équations du mouvement perturbé : ces équations sont connues depuis Newton. La difficulté réside dans les calculs nécessaires à leur résolution ! Il fallut attendre la fin du siècle dernier pour que le grand mathématicien et physicien Henri Poincaré se pose le problème de trois corps en interaction. Poincaré montra que les équations du problème à trois corps n'avaient pas de solution analytique (sous la forme d'une formule) et, pire encore, qu'il pouvait y avoir des solutions impliquant des trajectoires totalement irrégulières, erratiques en quelque sorte ! Qu'un système aussi simple et aussi déterministe que trois corps en interaction gravitationnelle puisse avoir un comportement qui s'apparente, en un certain sens, au hasard a de quoi étonner ! Pouvons-nous, nous aussi avec les moyens dont nous disposons dans cet étude, observer un tel comportement erratique ? Oui .....
Activité 1 : Une observation du chaos
Dans la partie A, nous avons étudié différents comportements de la suite logistique.
Nous avons pris pour “a” les valeurs suivantes : 0,5 - 1,5 - 2,8 - 3
- 3,5 - 4,1.
Nous sommes donc loin d’avoir exploré toutes les possibilités
!
Conservez la valeur U0 = 0,6 mais cette fois, faîtes varier “a” entre 3,5 et 4.
Comment pouvez-vous décrire ce nouveau comportement de la suite
(Un) ?....
Représentez ce comportement pour a = 3,75
Le comportement observé à l’air complètement imprévisible,
comme s’il était le pur fruit du hasard !! Pourtant, il est parfaitement
déterminé par la relation de récurrence qui définit
(Un) et la valeur de U0.
Pour vous en convaincre, relancé le calcul de Un,
en gardant les même valeurs : vous constaterez que vous obtenez bien
le même résultat. Le comportement de la suite n’est donc pas
aléatoire !!
Ce comportement, qui prend une allure aléatoire, et qui pourtant provient d’un phénomène entièrement déterministe, est appelé :
Une observation naturelle du chaos :
Revenons en arrière de 22 ans : nous sommes le 5 Septembre 1977.
Une fusée américaine Titan III est prête à décoller
de Cap Canavéral. Un satellite Voyager I est amarré à
cette dernière.
Dix heures environ après le décollage, le satellite se
dirige vers Jupiter et Saturne. Grâce à la loi universelle
de Newton, les astronomes ont prédit le mouvement du système
solaire durant 200 millions d'années. Cependant au delà de
Jupiter, une énigme subsiste : celle de Saturne qui se caractérise
déjà par ses anneaux mais aussi par ses lunes. On attribuait
à Saturne dix lunes, Voyager a amené le total à quinze.
L'une de ses lunes Hyperion a un comportement étrange : sa trajectoire
est complètement erratique et reste totalement imprévisible.
Supposons que les scientifiques ait pu prédire le mouvement
futur d'Hypérion grâce aux données de Voyager I et
la loi de Newton. On aurait remarqué lors du passage d'un autre
satellite que la prédiction était totalement fausse. Le mouvement
d’Hypérion semble complètement aléatoire. En fait,
ce mouvement n’a rien à devoir au hasard, il est seulement chaotique....
Mais, même si ce mouvement est chaotique, pourquoi, alors que
nous connaissons les lois qui le régissent, ne pouvons-nous pas
prévoir la position d’Hypérion ?....
Vous trouverez la réponse à cette question en effectuant
le travail proposé par la partie D :
Activité 2 : Le chaos est-il un phénomène aléatoire ?
Comme nous venons de le voir, le chaos n’est pas un phénomène aléatoire. Seulement le désordre observé dans les valeurs obtenues est assez semblable au désordre obtenu par un processus aléatoire.
Pour savoir si les valeurs résultant du chaos sont semblables à celles obtenues sous l’effet du hasard, je vous propose d’effectuer les 2 tests découverts dans la partie B.
Effectuez par exemple, les tests sur les 100 premiers termes de la suite 1 avec :
Notez vos résultats dans le tableau suivant :
Test 2 : indépendance de 2 valeurs successives
Notez vos résultats dans le tableau suivant :
Interprétation :
Dans la partie B, vous avez analysé le cas d’une véritable suite de nombres aléatoires.
Comparez les résultats des tests de la partie B avec les résultats
des tests précédents.
Pensez-vous que la suite chaotique puisse être considérée
comme une suite de nombres aléatoires ?
Activité 3 : La régularité peut naître
du chaos
Un comportement chaotique le reste-t-il indéfiniment ?....
La théorie du Big Bang qui cherche à expliquer la création de l’univers nous dit que l’univers est né d’une extraordinaire explosion donnant naissance à un véritable chaos ! Pourtant, aujourd’hui, l’univers nous apparaît parfaitement structuré. Les quarks forment les particules élémentaires que sont les électrons, les protons et les neutrons. Ces particules se regroupent pour former des atomes qui à leur tour donnent des molécules. Puis ces molécules s’organisent pour former les êtres vivants. Tous ces êtres vivent sur la terre, une planète parmi d’autres au sein du système solaire. Il existe dans l’univers des milliards d’étoiles. Ces étoiles forment des galaxies qui à leur tour donnent des amas de galaxies. Comment un univers aussi structuré a-t-il pu naître du chaos initial de l’univers ?... Cela semble extraordinaire et pourtant !!....
1) Considérez la Suite suivante
Choisissez L = 1,75.
En prenant plusieurs valeurs de U0, comprises entre 0 et 1, observez le comportement de cette suite et décrivez le phénomène observé.
Décrivez le comportement observé.
Réponse :
Le premier exemple montre que la régularité (ou l’ordre)
peut naître du Chaos. Mais le deuxième exemple montre que
l’ordre lui aussi peut évoluer, en particulier vers une “explosion”
vers l’infini. Le monde apparaît à travers ces exemples beaucoup
plus complexe qu’une observation partielle peut le laisser supposer. Le
chaos comme la régularité peuvent n’êtes que des phénomènes
transitoires évoluant vers d'autres types de comportements.